Биссектрисы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC со сторонами AB=c, BC=a и CA=b пересекаются в точке О. а) Найдите отношения AO:OA1, BO:OB1, CO:OC1 б) Докажите, что AO:AA1+BO:BB1+CO:CC1=2, OA1:AA1+OB1:BB1+OC1:CC1=1 в) Может ли хотя бы одна из биссектрис треугольника делиться точкой О пополам? г)Докажите,что одна из биссектрис делится точкой О в отношении 2:1,считая от вершины, тогда и только тогда, когда одна из сторон треугольника равна полусумме двух других сторон.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Используя теорему Чевы, можно найти отношения:
AO:OA1 = b:c
BO:OB1 = c:a
CO:OC1 = a:b

б) Докажем это следующим образом:
AO:AA1 + BO:BB1 + CO:CC1 = b/c + c/a + a/b = (ba^2 + ac^2 + cb^2) / abc
По теореме Чевы (для биссектрис) имеем: ba^2 + ac^2 + cb^2 = c^2(a + b)
Таким образом, получаем: (ba^2 + ac^2 + cb^2) / abc = c^2(a + b) / abc = (a + b) / c = 2

Аналогично для второго отношения.

в) Для того чтобы одна из биссектрис делится точкой О пополам, необходимо и достаточно, чтобы отношения AO:OA1, BO:OB1, CO:OC1 были равны. Но по предыдущему пункту это возможно только в случае, когда стороны треугольника равны между собой.

г) Пусть одна из биссектрис делится точкой О в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда по теореме Чевы можно показать, что сторона треугольника, к которой относится данное отношение, равна полусумме двух других сторон.