Диагональ AC прямоугольной трапеции ABCD перпендикулярна боковой стороне CD. Докажите, что эта диагональ разбивает трапецию на два подобных треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть точка M - середина боковой стороны AD, а точка N - точка пересечения диагонали AC с боковой стороной CD.

Так как диагональ AC перпендикулярна стороне CD, то углы ANC и CND прямые.

Так как M - середина стороны AD, то AM = MD. Также AM = MC, так как треугольник AMC равнобедренный (так как у него углы A и C равны, так как это прямоугольная трапеция), следовательно MC = MD.

Из равенства треугольников MCN и MND (по двум сторонам и общей стороне) получаем, что эти треугольники равны.

Таким образом, треугольники MCN и MND подобны (по двум углам) и соответственно угловой C стороны CMN и D стороны DMN равны.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и MNC. У них также один угол равен, так как угол A равен углу C, и они подобны, так как угол C равен углу N (так как угол C прямой и углы ANC и CND равны).

Таким образом, прямоугольная трапеция ABCD разбивается на два подобных треугольника MNC и MND с общим основанием MN.