На биссектрисе угла A взята точка E, а на сторонах этого угла точки B и С такие, что угол АЕС равен углу АЕВ. Доказать что ВЕ равно СЕ

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия известно, что угол AЕС равен углу AЕV, а значит, угол CES равен углу BEV. Таким образом, треугольник CES подобен треугольнику BEV по признаку углов.

Следовательно, отношение сторон треугольников CES и BEV равно. Из этого следует, что (\frac{CE}{BE} = \frac{ES}{EV}).

Также известно, что угол CES равен углу BEV, значит, угол CES равен углу BEV. Следовательно, треугольники CES и BEV подобны по двум углам и одной стороне, что означает их полное равенство.

Отсюда получаем, что (CE = BE).

Аналогичным образом, из подобия треугольников AEC и AEB получаем, что (AE = AE).

Теперь заметим, что в треугольнике AEC сумма углов равна 180 градусов: (\angle AEC + \angle CAE + \angle ACE = 180^\circ).

Так как по условию треугольник AEC равносторонний, то углы равны между собой: (\angle AEC = \angle CAE = \angle ACE). Следовательно, (\angle AEC = \angle CAE = \angle ACE = 60^\circ).

Таким образом, угол ABE равен (60^\circ), а случайте, угол BAE также равен (60^\circ).

Так как угол ABE равен углу BAE, треугольник ABE равнобедренный и (BE = AE).

Теперь, зная что (CE = BE) и (BE = AE), мы получаем, что (CE = BE = AE).

Исходя из этого, ВЕ равно CE.