Длина средней линии равнобедренной трапеции равна 24, а ее площадь 240, найти длину диагонали трапеции

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основания равнобедренной трапеции равны a и b, а высота равна h. Тогда средняя линия трапеции (медиана) равна (a + b) / 2, а площадь равна h * (a + b) / 2.

Из условия задачи у нас есть, что (a + b) / 2 = 24 и h * (a + b) / 2 = 240.

Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от h:

h = 240 / 24 = 10

Теперь мы можем найти a и b:

a + b = 2 * 24 = 4
a = 48 - b

h (a + b) / 2 = 24
10 48 / 2 = 24
480 / 2 = 24
240 = 240

Теперь найдем длину диагонали трапеции. Диагональ равнобедренной трапеции можно найти по формуле:

d = √(h^2 + ((a - b)^2) / 4)

d = √(10^2 + ((48 - b - b)^2) / 4) = √(100 + (48 - 2b)^2 / 4) = √(100 + (2304 - 192b + 4b^2) / 4) = √(100 + 576 - 48b + b^2) = √(676 - 48b + b^2) = √(b^2 - 48b + 676)

Так как сумма квадратов корней равна квадрату суммы, то b + (48 - b) = 48, можно выразить два корня как a+b и a-b, где a+b = 48, a-b = 24 (половина средней линии) поэтому b = 12, a = 3
d = √(12^2 - 4812 + 676) = √(144 - 576 + 676) = √(244) = 2 √(61)

Таким образом, длина диагонали равнобедренной трапеции равна 2 * √(61)