В правильной треугольной пирамиде PABC с основанием ABC угол APB равен 36°. На ребре PC взята точка N так, что AN- биссектриса угла PAC. Площадь сечения пирамиды , проходящего через A, N и B, равна 25√3. Найти сторону основания?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона основания треугольника ABC равна а, высота треугольника ABC, опущенная из вершины A, равна h, а высота пирамиды равна H.

Так как угол APB равен 36°, то угол BPC также равен 36°, так как треугольник PBC является равнобедренным. Значит, угол BPA равен 144° (360° — 36° — 36° — 144°).

Так как AN — биссектриса угла PAC, то угол CAN равен 18°, а угол BAN также равен 18°. Следовательно, треугольник ABC также является равнобедренным.

Из равнобедренности треугольника ABC следует, что угол ACB равен 36°.

Теперь построим прямоугольный треугольник ANP. Так как AN — биссектриса угла PAC, то угол NAP равен 27° (половина 54°). Значит, угол PNA равен 63°.

Теперь мы можем выразить стороны треугольника ANP через стороны треугольника ABC:
AP = BC = а,
NP = NC = (h * tg 54°) / tg 63°.

Площадь сечения пирамиды, проходящего через A, N и B, равна 25√3. Так как треугольник ANP — подобен треугольнику ABC, отсюда получаем уравнение:
(S{ANP} * (AB)^2) / (S{ABC} * a^2) = 25√3.

S{ANP} = 0.5 NP AP = 0.5 ((h tg 54°) / tg 63°) * a,
S{ABC} = 0.5 h а.

Подставляем S{ANP} и S{ABC} в уравнение и находим сторону а.