Точки P,Q,W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW=12. а) Докажите, что треугольник PQW -- прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поскольку отношения AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4, то можем записать, что AP=4x, PB=x, CQ=4y, QB=y, CW=4z, WD=z, где x,y,z - некоторые числа.

Теперь заметим, что треугольники APQ, BQW, CQW, DWP подобны и сходятся в точке Q. Тогда угол PQW = угол PBQ, и угол QWP= угол BQC.

Поэтому в треугольнике PQW угол P равен углу PBQ, а угол W равен углу CQW. Так как угол PBQ = угол CQW = 90 градусов, то получаем, что треугольник PQW - прямоугольный.

б) Так как окружность, описанная около треугольника PQW, имеет радиус 10, то гипотенуза треугольника PQW = 2 * 10 = 20. Также дано, что PQ = 16 и QW=12.

Используя теорему Пифагора, находим, что PW^2 = PQ^2 + QW^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400. Следовательно, PW=20, что соответствует гипотенузе треугольника

Так как сторона DW соответствует стороне QP, то DW = 4 PW = 4 20 = 80.

Аналогично, находим BC = 4 PQ = 4 16 = 64 и AD = 4 QW = 4 12 = 48.

Теперь можем найти площадь четырёхугольника ABCD:

S = (BC + AD) DW / 2 = (64 + 48) 80 / 2 = 112 * 80 / 2 = 5600.

Ответ: площадь четырёхугольника ABCD равна 5600.