Найдите диагональ АС прямоугольной трапеции АВСD, если её меньшее основание равно 8, высота CD равна двум корням из трёх, а тупой угол равен 150 градусов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения диагонали AC прямоугольной трапеции, воспользуемся теоремой косинусов.

Известно, что угол между диагональю и большим основанием равен 150 градусов. Значит, угол между диагональю и меньшим основанием равен 30 градусов.

Обозначим длину меньшего основания AB = 8, длину диагонали AC = x, длину вертикали CD = 2√3. Также обозначим длину высоты проведенной из вершины B на боковую сторону AD как h.

Тогда, по теореме косинусов, имеем:

cos(30°) = (AB^2 + AD^2 - BD^2) / (2 AB AD)
cos(30°) = (8^2 + h^2 - x^2) / (2 8 h)
√3 / 2 = (64 + h^2 - x^2) / (16h).

Также из сходности треугольников ABC и ADC, по соотношению сторон, имеем:

h / 8 = 2√3 / x
h = 16√3 / x.

Подставим h из второго уравнения в первое и решим систему уравнений:

√3 / 2 = (64 + (16√3 / x)^2 - x^2) / (16 16√3 / x)
√3 / 2 = (64 + 768/x^2 - x^2) / (256√3 / x)
√3 x = 128 + 1536/x^2 - x^3
0 = x^3 - 1536/x^2 + √3x - 128.

Это уравнение третьей степени, решить его можно численным методом либо графически.