Дан куб ABCDA1B1C1D1. На рёбрах B1A1 и A1D1 соответственно находятся точки N и M так, что B1N:NA1=1:3;A1M:MD1=1:1. Определи косинус угла α между прямыми BN и AM, если ребро куба равняется 1 ед. изм.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точек N и M.

Пусть A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A1(0,0,1), B1(1,0,1), C1(1,1,1), D1(0,1,1).

Так как B1N:NA1=1:3, то координаты точки N можно найти как среднее арифметическое координат точек A1 и B1:

N((0+1)/2, 0, (0+1)/2) = (1/2, 0, 1/2)

Так как A1M:MD1=1:1, то координаты точки M можно найти как среднее арифметическое координат точек A1 и D1:

M(0, 0, (1+1)/2) = (0, 0, 1)

Теперь найдем вектора BN и AM и их скалярное произведение.

Вектор BN = N - B = (1/2, 0, 1/2)

Вектор AM = M - A = (0, 0, 1)

Скалярное произведение векторов BN и AM равно произведению их длин и косинусу угла между ними:

BN·AM = |BN| |AM| cos(α)

|BN| = √[(1/2)^2 + 0^2 + (1/2)^2] = √(1/2) = √2/2

|AM| = √[0^2 + 0^2 + 1^2] = 1

cos(α) = (BN·AM)/(|BN| |AM|) = (1/2)/(√2/2 1) = 1/√2 = √2/2

cos(α) = √2/2

Итак, косинус угла α между прямыми BN и AM равен √2/2.