Проверить, что векторы образуют базис: a (2 ; 0; 3) , b(0; − 2; 1) , c (1 ; 4; 0). Вектор d составляет с осью ОХ угол 45*, с осью OY угол 120*, с осью OZ острый угол; модуль вектора d=2. Какой угол вектор d образует с осью OZ? Разложите вектор d по базису а,b,c

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы проверить, что векторы a, b, c образуют базис, нужно убедиться, что данные векторы линейно независимы и, следовательно, любой другой вектор в пространстве можно представить в виде их линейной комбинации.

Для начала проверим их линейную независимость. Предположим, что существуют такие числа x, y, z не равные нулю одновременно, что x a + y b + z * c = 0. Это означает, что векторы a, b, c линейно зависимы. Решим данное уравнение:

2x + z = 0
-2y + 4z = 0
3x + y = 0

Из первого и третьего уравнения получаем, что x = -3/8, затем подставляем x во второе уравнение и получаем, что y = -1/4. Таким образом, x=y=z=0, и векторы a, b, c действительно образуют базис.

Теперь найдем угол, который вектор d образует с осью OZ. По условию, известно, что угол между вектором d и осями OX, OY равен 45° и 120° соответственно, а также модуль вектора d равен 2. Так как угол между вектором и осью OY больше 90°, то он находится во второй четверти, следовательно его проекция на ось OZ будет отрицательной и угол с осью OZ будет острый.

Разложим вектор d по базису a, b, c. Выразим вектор d через эти базисные векторы:
d = λ1a + λ2b + λ3*c

Учитывая, что вектор a направлен вдоль оси ОX, вектор b вдоль оси OY, и вектор c вдоль оси OZ, получаем:

d = λ1 (2; 0; 3) + λ2 (0; -2; 1) + λ3 * (1; 4; 0)

Решим данную систему уравнений для нахождения коэффициентов λ1, λ2, λ3.