В прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 13, вписана окружность, радиус которой равен 2. Определите катеты треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c = 13.

Так как вписанная окружность касается сторон треугольника, то точки касания являются серединами соответствующих сторон. Поэтому катеты треугольника равны сумме радиуса вписанной окружности и отрезка от вершины треугольника до точки касания окружности.

Таким образом, a = r + x, b = r + y, c = a + b, где x и y - отрезки от вершины треугольника до точек касания окружности.

Так как треугольник является прямоугольным, можно воспользоваться теоремой Пифагора: a^2 + b^2 = c^2.

(r + x)^2 + (r + y)^2 = c^2

(2 + x)^2 + (2 + y)^2 = 13^2

Раскрываем скобки:

4 + 4x + x^2 + 4 + 4y + y^2 = 169

x^2 + 4x + y^2 + 4y - 161 = 0

Так как x и y являются катетами треугольника, они также являются сторонами прямоугольного треугольника, поэтому можно принять, что x^2 + 4x = y^2 + 4y.

Тогда уравнение примет вид:

2x^2 + 8x - 161 = 0

Далее решаем квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac = 64 + 161*8 = 1344

x = (-8 ± √1344)/4 = (-8 ± 36)/4

x1 = 7, x2 = -46/2 = -23

Так как x - длина стороны не может быть отрицательной, то рассматриваем только положительное значение x.

Таким образом, x = 7, y = 7.

Подставляем найденные значения x и y в выражения для катетов:

a = 2 + 7 = 9

b = 2 + 7 = 9

Ответ: a = 9, b = 9.