Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы углов A и D пересекают сторону BC в двух точках, расстояние между которыми равно 2. Найти сторону BC, если AB=5.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точки пересечения биссектрис с стороной BC как E и F, причем AF = CE = x, BD = y.

Так как AE является биссектрисой угла A, то треугольник ADE является равнобедренным, поэтому DE = AD = 5.

По теореме Фалеса для треугольника ABE получаем, что (DE/CE) = (AB/BF), т.е. (5/x) = (5/(y+2)), откуда x = y + 2.

Так как DF является биссектрисой угла D, то треугольник DCF является равнобедренным, поэтому DC = CF.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника DCF: CF^2 + 2^2 = y^2 => CF = sqrt(y^2 - 4).

Составим уравнение на основе подобия треугольников ABE и DCF: 5/(y+2) = sqrt(y^2 - 4)/sqrt(DE^2 - CF^2) = 5/sqrt(25 - y^2 + 4) => y^2 = 9 => y = 3.

Таким образом, сторона BC равна 3+2 = 5.