Общей хордой двух кругов стягиваются дуги в 60 и 90. найдите отношение площадей меньшего и большего кругов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Построим треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, соединяющей точки пересечения дуг с общей хордой.

Так как угол, образованный радиусом и хордой, равен 60 градусов, то угол треугольника при основании также равен 60 градусов.

Таким образом, треугольник равнобедренный. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что биссектриса угла при вершине разделит основание треугольника на отрезки, пропорциональные соответствующим сторонам треугольника.

Пусть больший круг имеет радиус R, а меньший - радиус r. Тогда отношение площадей меньшего и большего кругов равно отношению квадрата меньшего радиуса к квадрату большего радиуса:

S(малого круга) / S(большого круга) = r^2 / R^2.

Так как в равнобедренном треугольнике, образованном радиусами и хордой, отношение боковых сторон треугольника также равно r/R, то получаем:

r/R = S(малого круга) / S(большого круга).

Из этого следует, что:

S(малого круга) / S(большого круга) = (r/R)^2 = (60/90)^2 = (2/3)^2 = 4/9.

Таким образом, отношение площадей меньшего и большего кругов равно 4/9.