В прямоугольной трапеции большая диагональ, имеющая длину 24, является биссектрисой острого угла. найти площадь трапеции, если расстояние от вершины тупого угла до диагонали равно 9.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть вершина тупого угла трапеции обозначена как точка C, точка пересечения большей диагонали и меньшей стороны трапеции – точка D, а точка пересечения биссектрисы с меньшей стороной – точка E. Тогда треугольник DCE – это прямоугольный треугольник, так как BD – биссектриса угла BDC.

Пусть DC = x и DB = y. Тогда DE = 12, так как BD – биссектриса треугольника BDC. По теореме Пифагора:
CD^2 + DE^2 = CE^2
x^2 + 9^2 = (y - 12)^2
Раскроем скобки:
x^2 + 81 = y^2 - 24y + 144
x^2 = y^2 - 24y + 63

Так как CE – биссектриса угла DCE, то DCE равнобедренный треугольник, а значит DC = DE.
Тогда:
x = 12
y = 24

Теперь найдем высоту трапеции. Пусть высота равна h. Тогда в прямоугольном треугольнике CDE применим теорему Пифагора:
h^2 + 9^2 = 12^2
h^2 = 144 - 81
h^2 = 63
h = 3√7

Теперь можем найти площадь трапеции по формуле:
S = (AB + CD) h / 2
S = (24 + 12) 3√7 / 2
S = 36 3√7 / 2
S = 18 3√7
S = 54√7

Ответ: Площадь трапеции равна 54√7.