В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на медиане ВD отмечена точка К. Докажите, что треугольник АКС равнобедренный.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что BD является медианой треугольника ABC, а значит, BD делит сторону AC пополам, то есть AC = 2*BD.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то BD является высотой, а значит, треугольник ABD прямоугольный. По теореме Пифагора в треугольнике ABD:
AB^2 = AD^2 + BD^2.

Теперь обратимся к треугольнику AKD. Так как DB является медианой треугольника ABC, то точка K делит сторону AD в отношении 1:2 (AD = 2*DK).
Таким образом, в треугольнике AKD, мы также можем применить теорему Пифагора:
AK^2 = AD^2 + DK^2.

Рассмотрим теперь равенство AD^2 + BD^2 = AK^2 + DK^2. Подставляем в него равенства AC = 2BD и AD = 2DK:
4DK^2 + 4BD^2 = AK^2 + DK^2.
Заметим, что 4BD^2 = AC^2, а также DK = AK, так как точка K делящая медиану на 1:2.
Подставляем это в равенство:
AC^2 = AK^2 + AK^2,
AC^2 = 2AK^2,
AK^2 = 1/2 * AC^2.

Таким образом, AK = 1/√2 * AC, что означает, что треугольник AKD является равнобедренным.