Биссектриса AD треугольника ABC делит сторону BC на части BD и DC,причем BD:DC = 4:5. Найдите площадь треугольника ABC,если площадь треугольника ADC равна 60.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны треугольника ABC: AB = a, BC = b, AC = c. Так как биссектриса AD делит сторону BC на примерно равные части BD и DC, то можно предположить, что стороны BC и AD имеют отношение 9:9 = 1:1.

Таким образом, BD = (1/9)b и DC = (8/9)b. Учитывая, что BD:DC = 4:5, получаем выражения:

(1/9)b/(8/9)b = 4/5
1/8 = 4/5
5 = 32

Видим, что предположение неверно. Поэтому будем рассматривать вариант, в котором сторона AC делится на отрезке BD в отношении 4:5. Тогда имеем:

BD = 4b/(4+5) = 4b/9
DC = 5b/(4+5) = 5b/9

Площадь треугольника ADC равна 60, поэтому moжем записать пропорцию: (1/2)ADDC = 60 => (1/2)AC5b/9 = 60

Подставляем значение AC = 9b, получаем: (1/2)9b5b/9 = 60 => (1/2)*5b^2 = 60 => b^2 = 24

Так как площадь треугольника ABC равна (1/2)bAD, то можем записать: S = (1/2)bAD = (1/2)bAC = (1/2)b9b = 4.5b^2

Подставляем значение b^2 = 24, получаем: S = 4.5*24 = 108

Ответ: площадь треугольника ABC равна 108.