Задание 1.В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота AD. Определите длину AD, если BD = 4 см, СВ = 9 см.Указание: для решения воспользуйтесь утверждением, что высота прямоугольного треугольника разбивает его на два треугольника, подобных друг другу.Задание 2.В прямоугольном треугольнике (∠A = 90°) величина угла B составляет 30°. Из вершины угла C проведена биссектриса CD, которая разбивает противоположный катет на отрезки AD и BD.докажите, что ∆ABC ~ ∆ACD;найдите отношение AD : BD.Задание 3.В треугольнике ABC проведена средняя линия KL (KL || AC). В полученном треугольнике BKL проведена средняя линия MN (MN || BK). Определите периметр треугольника LMN, если периметр треугольника ABC составляет 80 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Задание 1.
По указанному утверждению, треугольник ABC разбивается высотой AD на два треугольника: ABD и ADC. Так как эти треугольники подобны, то мы можем записать пропорцию:
AB/AD = BD/CD
9/AD = 4/CD
CD = 4AD/9
Также из подобия треугольников мы можем составить пропорцию отношения сторон:
CD/BD = AD/AB
4AD/9 / 4 = AD/9
AD^2 = 4*9
AD = 6 см

Задание 2.
Так как CD - биссектриса угла C, то угол ACD = угол CAD = 30°.
Так как в прямоугольном треугольнике угол B = 30°, то угол A = 60°.
Теперь у нас есть два равнобедренных треугольника, и по условию они подобны, следовательно:
∆ABC ~ ∆ACD
Теперь найдем отношение AD : BD.
Из подобия треугольников:
AD/BD = AC/BC
AD/BD = AC/AB
AD/BD = cos 60°
AD/BD = 1/2

Задание 3.
Так как KL || AC, то по теореме о параллельных прямых треугольник BKL подобен треугольнику ABC, следовательно соотношение их сторон равно.
Точно так же, по теореме о параллельных прямых треугольники BKL и LMN подобны.
Пусть периметр треугольника LMN равен Р. Тогда отношение периметров треугольников ABC и BCD равно отношению сторон в подобных треугольниках:
(AB + BC + CA) / (BK + KL + LC) = AB/KL
80 / Р = 2/1
Р = 40 см
Ответ: периметр треугольника LMN равен 40 см.