В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке О . Площадь треугольника ABC равна 32, OS=24. Найдите объем пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка O делит медиану SA в отношении m: n, тогда SO:OA = m:n.

Так как OS = 24, SА = 24n, ОА = 24m.

Так как медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, то медиана из точки О до точки В делит медиану СА в отношении 2:1. Значит, VO:OV = 2:1.

Значит, VО = 16.

Так как точка O - точка пересечения медиан треугольника АВС, то V - середина стороны АВ.

Таким образом, координаты точки V = (16;0), а координаты точки А = (32;0).

Площадь треугольника АВС равна 32, или

[\frac{1}{2} AB h = 32,]

где h - высота треугольника АВС, проведенная из вершины С.

AB = 64.

Таким образом, сразу видим, что точка С спроецирована на АВ перпендикулярно и посередине стороны ВА, т.е. координаты C = (16; 24).

Теперь находим объем пирамиды

[V = \frac{1}{3} S_{\Delta ABC} h,]

где h - высота пирамиды.

Чтобы найти h, посмотрим на треугольник АVС. Он является прямоугольным, так как V - середина АB, а С - середина АV. Следовательно, AC = 32.

Значит, AV = 2 * VC = 48.

В прямоугольном треугольнике AVС с гипотенузой 48 и катетом 32 находим высоту треугольника АVС:

[h = \sqrt{48^2 - 32^2} = 36.]

Таким образом,

[V = \frac{1}{3} 32 36 = 384.]

Ответ: объем пирамиды равен 384 объемным единицам.