В правильной треугольной пирамиде SABC Q - середина ребра АВ, S - вершина. Известно, что SQ= 28, а площадь боковой поверхности равна 294. Найдите длину отрезка BC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь боковой поверхности пирамиды SABC равна сумме площадей трех равных треугольников SAB, SAC, SBC.

Площадь треугольника SAB равна ( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SQ ),
площадь треугольника SAC равна ( \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SQ ),
площадь треугольника SBC равна ( \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SQ ).

Так как SQ = 28, то площадь боковой поверхности пирамиды равна
( \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot (AB + AC + BC) = 294 ),
( 14 \cdot (AB + AC + BC) = 294 ),
( AB + AC + BC = 21 ) (1).

Также по условию Q - середина ребра AB, поэтому AB = 2 * AQ,
и по теореме Пифагора в треугольнике AQS получаем
( AQ^2 + SQ^2 = AS^2 ),
( AQ^2 + 28^2 = AS^2 ),
( AQ^2 + 784 = AS^2 ) (2).

Из равенства треугольников SAB, SBC получаем ( AQ = QS ),
так как в треугольнике SQB углы ASQ и SBC равны, а углы BQS и ASB равны, значит эти треугольники равны, и отсюда следует, что AQ= QS= AS.

Так как SQ = 28, то AS = 28.

Подставим AS в (2):
( AQ^2 + 784 = 28^2 ),
( AQ^2 = 784 - 28^2 ),
( AQ^2 = 784 - 784 ),
( AQ^2 = 0 ),
( AQ = 0 ).

Следовательно, отрезок АQ совпадает с отрезком AS, и они оба равны 28.

Из этого следует, что отрезок BC равен 21 - 28 = -7.

Таким образом, длина отрезка BC равна 7.