Боковые ребра правильной треугольной пирамиды составляют с основанием угол в 60 градусов. Найдите объем описанного около пирамиды конуса, если сторона основания пирамиды равна а

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть высота треугольной пирамиды равна h.

Так как боковые ребра образуют с основанием угол в 60 градусов, то по теореме косинусов можем найти диагональ основания пирамиды:

(a^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 - 2h\frac{a}{2}*\cos{60})

(a^2 = h^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{ah}{2})

(a^2 = h^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{\sqrt{3}ah}{2})

(4a^2 = 4h^2 + a^2 - 2\sqrt{3}ah)

(3a^2 = 4h^2 - 2\sqrt{3}ah)

(h = \frac{3a^2}{4a\sqrt{3}} = \frac{3a}{4\sqrt{3}})

Объем конуса можно найти по формуле: V = (1/3)Пr^2*h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Радиус основания конуса равен половине длины диагонали основания пирамиды: r = a/2

Теперь можем найти объем описанного около пирамиды конуса, подставляя найденные значения:

V = (1/3)П((\frac{a}{2}))^2*(\frac{3a}{4\sqrt{3}})

V = (1/3)П(\frac{a^2}{4})*(\frac{3a}{4\sqrt{3}})

V = (\frac{\Pi a^3}{16\sqrt{3}})