В треугольнике ABC проведены высота BM и биссектриса AE. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что точки A, B, M и E лежат на одной окружности и угол MEC=20 градусов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия следует, что угол AMB = 20 градусов (угол, опирающийся на дугу ME).

Также, по свойству окружности, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, угол AEB = 40 градусов (угол, опирающийся на туже дугу EM).

Так как AM и AB - углополовины, угол MAB = 10 градусов.

Теперь по теореме косинусов найдем углы:

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc
cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac
cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab

где соответственно a, b, c - стороны треугольника.

Из теоремы Пифагора находим, что AB^2 = AM^2 + MB^2
Из уравнения AMB = 20, видим, что AM = BM, поэтому AB^2 = 2AM^2
Таким образом AB = AM * sqrt(2).

Зная что AE - биссектриса, выводим что AE = c * b / (a + c) = AB.
Будем разворачивать это уравнение вместе с выведенным AB

AB = c b / (a + c)
AM sqrt(2) = c b / (a + c)
AM = c b / (a + c) / sqrt(2)

Решив это уравнение, находим, что аналогично составленные уравнения ME = AM sqrt(2 - 2sqrt(2)), AE = ME * sqrt(2). На самом деле, это подставляется в углы

cos(A) = ( 2 - 4 sqrt(2) sqrt(2 - 2 sqrt(2)) cos(10) ) / 4
cos(B) = ( 2 - 4 sqrt(2) 2 cos(10) ) / 4
cos(C) = ( 2 - 4 cos(10) sqrt(2 - 2 sqrt(2)) ) / 4

Ответ: углы треугольника ABC равны 40, 60 и 80 градусов, соответственно.