Высота равнобедренной трапеции 5 . Найти углы трапеции если диагональ делит среднюю линию на отрезки 5 и 10

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться тем, что при делении средней линии трапеции диагональю, углы между диагоналями и боковыми сторонами равны.

Обозначим верхний угол трапеции через α, а нижний угол через β.

Поскольку средняя линия равнобедренной трапеции делится диагональю на отрезки 5 и 10, то высота t равна 5. Также из свойств равнобедренной трапеции известно, что средняя линия делит основания трапеции пополам.

Получаем, что в треугольнике с основанием 5, одна из катетов равна 2,5, а другой 5. Половина высоты трапеции равна тоже 2,5. А поскольку основание 10 с диагоналями треугольника а также соединяющими катетами параллелен двум диагоналям, углы β и γ одинаковы. Видим также, что в треугольнике гипотенуза троекратно больше катета, откуда уходим, что данный треугольник - 30-60-90.

Теперь мы можем выразить tan(α) через основание и половину выстоты трапеции:
$$tan(30)=\frac{2,5}{5}$$

Откуда находим sine и cosine:
$$sin(α)=\frac{1}{2}$$
$$cos(α)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Применим то же к высоте равнобедренной трапеции, чьё основание равно стороне меньшей высоты, и тригонометрия даст нам угол β. Получаем:
$$sin(β)=\frac{1}{2}$$
$$cos(β)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, углы α и β равны 30 и сумма всех углов 120.