Окружность проходит через вершины C и D прямоугольной трапеции ABCD (угол C = углу D =90 градусам). Найти радиус окружности, если известно, что окружность касается прямой AB в точке B и длины боковых сторон трапеции равны 4 и 5.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус окружности через r.

Так как окружность касается стороны AB в точке B, то отрезок BH равен r, где H - точка касания окружности и AB.

Также заметим, что AD = CH = 4 и BC = DH = 5.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AHB:
AB^2 = AH^2 + BH^2
AB^2 = (AD - DH)^2 + r^2
AB^2 = (4 - r)^2 + r^2
AB^2 = 16 - 8r + r^2 + r^2
AB^2 = 16 - 8r + 2r^2

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике CHD:
CD^2 = CH^2 + DH^2
CD^2 = 4^2 + 5^2
CD^2 = 16 + 25
CD^2 = 41

Так как CD - диаметр окружности, то CD = 2r, откуда получаем:
2r = sqrt(41)
r = sqrt(41)/2

Ответ: радиус окружности равен sqrt(41)/2.