Точки D и Е - середины сторон АВ и ВС треугольника АВС, а точки М и N лежат на строне АС, причем АМ=МN=NС, вектор АМ= вектору a, вектор АD= вектору b. а) Выразите векторы АЕ, ВN, EN через векторы а и b. б) Докажите с помощью векторов, что BN║DM.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а)
Так как D и E - середины сторон AB и BC, то вектор AE = 0.5(AB+AC) = 0.5(AB+BC) = 0.5(AB+BC) = 0.5(AB+AM+MC) = 0.5(AB+AM+MN+NC) = 0.5(AB+a+(0.5a)+(0.5a)) = 0.5(AB+2a) = 0.5AB + a = -b + a = a - b.

Также, вектор BN = BM + MN = AM + MN = 2a.

И вектор EN = BN - BE = BN - AE = 2a - (a - b) = a + 2b.

б) Чтобы доказать, что BN || DM, нужно показать, что вектор BN кратен вектору DM, т.е. BN = k*DM для некоторого k.

Из условия задачи мы знаем, что AM = MN = NC, поэтому вектор DM = MN + NC = 2AM, а вектор BN = 2AM + 2MC = 2AM + 2AM = 4AM.

Таким образом, вектор BN = 4AM = 22AM = 2DM.

Из этого следует, что BN кратен вектору DM, а значит, BN || DM.