В прямоугольном треугольнике острый угол 15 градусов. Докажите, что произведение катетов равно половине квадрата гипотенузы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза.

Так как острый угол треугольника равен 15 градусам, то в прямоугольном треугольнике a/c = sin15° и b/c = cos15°.

Умножим обе части уравнений a/c = sin15° и b/c = cos15° на c^2:

ac = c^2sin15° и bc = c^2cos15°

Тогда ab = c^2sin15° c^2cos15° = c^2 sin15° cos15°

Воспользуемся формулой для произведения синусов: sin(a)cos(a) = 0.5sin(2a)

Подставим a = 15°: sin15° cos15° = 0.5sin30° = 0.5 0.5 = 0.25

Таким образом, ab = c^2 0.25 => a*b = 0.25c^2

Поскольку a*b = 0.25c^2, то произведение катетов равно половине квадрата гипотенузы.