В прямоугольном теугольнике ДСЕ с прямым углом С, проведена биссиктриса EF . FC=13см. найдите расстояние от точки F, до прямой ДЕ

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка F находится на расстоянии x от прямой DE.

Так как EF - биссектриса треугольника DFC, то EF делит угол DFC пополам и по теореме биссектрисы:

DF/FC = DE/EC

DF/13 = x/(x+13)

DF = 13x/(x+13)

Также, так как треугольник ДСЕ - прямоугольный, то DF также будет являться высотой этого треугольника.

DF относительно прямой DE будет 90-й угол с углом С. То есть арктангенс отношения катета DF к катету DE равен углу С.

Тангенс угла С равен отношению длин DF к DE:

tg(C) = DF/DE

tg(C) = 13x/(x+13) / DE

tg(C) = 13x/(x+13) / (13 + x)

tg(C) = 13x/(x+13)(13+x)

Но так как tg(C) = 5/12 (так как расстояние между точкой и прямой равно 5, а высота - 12), то получаем уравнение:

13x/(x+13)(13+x) = 5/12

156x = 5(x+13)(13+x)

156x = 5(x^2 + 13x + 13x + 169)

156x = 5(x^2 + 26x + 169)

156x = 5x^2 + 130x + 845

0 = 5x^2 - 26x + 845

x = (26 ± √(26^2 - 45845)) / 10 = (26 ± √(676 - 3380)) / 10 = (26 ± √(-2704)) / 10

x = (26 ± 52i) / 10 = 13/5 ± 26/5 i

Таким образом, расстояние от точки F до прямой DE равно 13/5 ± 26/5 i.