1.Отрезок AB задан точками A(7;-4) и B(-8;1) и делится точкой C в отношении 1:4 (от A к B). Найти точку C. 2.Отрезок задан точками A(-10;4) и B(5;-1). До какой точки С нужно его продолжить, чтобы AB:BC=5:1? 3.Вычислить косинус угла между векторами a=(3;4) и b=(5;12) 4.В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите что 2AM=AB+AC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения точки C можно воспользоваться формулой нахождения точки деления отрезка в заданном отношении:
x = (x1 + kx2)/(1 + k)
y = (y1 + ky2)/(1 + k)
Где (x1; y1) - координаты точки A, (x2; y2) - координаты точки B, k - отношение деления.

Подставляем значения:
x = (7 + 4(-8))/(1 + 4) = (-29)/5 = -5.8
y = (-4 + 41)/(1 + 4) = 0

Таким образом, точка C имеет координаты (-5.8; 0).

Для нахождения точки C, до которой необходимо продлить отрезок AB, чтобы получить соотношение 5:1, можем воспользоваться формулой нахождения точки деления отрезка:
x = (x2 - kx1)/(1 - k)
y = (y2 - ky1)/(1 - k)

Подставляем значения:
x = (5 - 5)/(1 - 5) = 0/(-4) = 0
y = (-1 - 4)/(1 - 5) = -5/(-4) = 1.25

Таким образом, точка C имеет координаты (0; 1.25).

Косинус угла между векторами a и b можно найти по формуле:
cos(theta) = (ab) / (||a|| ||b||)

Где a*b - скалярное произведение векторов a и b, ||a|| и ||b|| - длины векторов a и b.

Вычисляем:
ab = 35 + 4*12 = 15 + 48 = 63
||a|| = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5
||b|| = sqrt(5^2 + 12^2) = sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13

cos(theta) = 63 / (5 * 13) = 63 / 65 ≈ 0.9692

Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен примерно 0.9692.

Для доказательства того, что 2AM = AB + AC, можно воспользоваться теоремой о медиане треугольника. Согласно этой теореме, медиана треугольника делит сторону пропорционально к двум оставшимся сторонам.

Из этого следует, что AM = (AB + AC) / 2. Таким образом, 2AM = AB + AC, что и требовалось доказать.