В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 12, боковые рёбра 13. Около пирамиды описана сфера. Докажите что центр сферы лежит на высоте пирамиды. Найдете расстояние от центра сферы до плоскости основания

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим вершину пирамиды как $A$, основание как $BCDE$, где $BC = CD = DE = EB = 12$, боковые рёбра как $AB = AC = AD = AE = 13$.

Поскольку пирамида правильная, то проведём медиану $AM$, где $M$ - середина ребра $BC$. Поскольку у нас правильная пирамида, то $AM$ - высота пирамиды.

Сначала найдем высоту пирамиды. Используем теорему Пифагора для треугольника $ABC$:

$AB^2 = AC^2 - BC^2$

$13^2 = 13^2 - 12^2$

$169 = 169 - 144$

$25 = 144$

$BC = \sqrt{25} = 5$

Таким образом, длина медианы $AM$ равна $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Сфера описана около пирамиды, следовательно, её центр лежит на медиане $AM$ внутри пирамиды.

Чтобы найти расстояние от центра сферы до плоскости основания, возьмем прямоугольный треугольник, где один из катетов – это расстояние от центра сферы до основания (обозначим эту длину как $h$), а гипотенуза – это радиус сферы:

$13^2 = h^2 + 6^2$

$169 = h^2 + 36$

$h^2 = 169 - 36$

$h^2 = 133$

$h = \sqrt{133}$

Итак, центр сферы лежит на высоте пирамиды, а расстояние от центра сферы до плоскости основания равно $\sqrt{133}$.