АВ - диаметр круга. через точки А и В проведены две касательные к окружности. третья касательная пересекает первые две в точках С и Д. докажите что квадрат радиуса круга равна произведению отрезков СА и ДВ

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус круга через r. Проведем радиусы к точкам С и D.

Так как отрезки SC и SD являются касательными к одной окружности, то уголы ACS и ADS прямые.

Также у нас есть, что уголы ACB и ADB прямые, так как это углы между касательной и радиусом.

Теперь рассмотрим треугольники ACS и DAB. У них по два прямых угла, следовательно, третий угол в каждом из них равен 90 градусов.

Таким образом, треугольники ACS и DAB подобны по двум углам, что дает нам соотношение сторон:

AC/DA = CS/DB = AS/AD.

Из первого равенства имеем ACAD = DA^2, из второго равенства - AC^2 = CSDB.

Учитывая, что AC = r, получаем, что r^2 = ASBD = SABD

Таким образом, доказано, что квадрат радиуса круга равен произведению отрезков СА и ДВ.