Через точку A проведены касательная AB (B - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках C и K так, что AC=4 см, AK=16 см. Найдите длину AB Ответ: 8 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся свойством касательной к окружности, которое гласит, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Таким образом, мы видим, что треугольник ABC прямоугольный, где AB - гипотенуза, AC - катет, BC - катет.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике справедливо следующее уравнение
AC^2 + BC^2 = AB^
4^2 + BC^2 = AB^
16 + BC^2 = AB^
BC^2 = AB^2 - 16

Также воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике AKB
AB^2 = AK^2 + KB^2 - 2 AK KB * cos(KAB)

Известно, что AK = 16, AB = x, предположим, что KB = y, и угол KAB = угол KAC = угол BAC = угол ABC равны меж собой и обозначим этот угол как a. Угол KAB равен 2 угла KAC, следовательно, угол KAB = 2 угла KAC = 2 * a
cos(KAB) = cos(2a) = 1 - 2sin^2(a)

Теперь можем выразить KB через угол a и проведенные длины
AB^2 = 16^2 + y^2 - 2 16 y * (1 - 2sin^2(a))

16^2 + BC^2 = 16^2 + y^2 - 2 16 y + 32y sin^2(a
BC^2 = y^2 - 32y + 32y sin^2(a)

Подставим полученное значение BC^2 в уравнение выше
AB^2 = (AB^2 - 16) - 32(AB - 16) + 32(AB - 16) sin^2(a
AB^2 = AB^2 - 16 - 32AB + 512 + 32AB sin^2(a) - 512 * sin^2(a)

16 = 512 * sin^2(a
sin^2(a) = 1/3
sin(a) = 1/√32 = 1/4√2 = √2/8

Теперь можем вычислить длину AB
16 + BC^2 = AB^
16 + BC^2 = (8^2 - 16
16 + BC^2 = 64 - 1
BC^2 = 48

Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то мы можем применить формулу Брахмагупты, чтобы вычислить длину касательной AB
AB = √(AC^2 + BC^2
AB = √(16 + 48
AB = √6
AB = 8

Таким образом, длина касательной AB равна 8 см.