ABCD — правильный тетраэдр. Все рёбра имеют длину 8; точка М — середина AD; точка K — середина DB; точка Р лежит на ребре DC; DP = 6. 1) Постройте: а) точку X1 пе- ресечения прямой МР и плоскости АВС; б) точку X2 пе- ресечения прямой KР и плоскости АВС; в) точку пересе- чения прямой MP и плоскости АKС; г) прямую пересече- ния плоскостей МХ1K и Х2DС. 2) Найдите: а) длину X1X2; б) в каком отношении плоскость MX1X2 делит от- резок DB (считая от В).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1)
а) Построим точку X1. Поскольку M - середина AD и P лежит на ребре DC, то точка P делит отрезок DM на отрезки в отношении 1:1. Таким образом, DP = 6, PM = 2 и MD = 4. Точка P имеет координаты (0, 0, 6), а точка M имеет координаты (0, 4, 0). Уравнение прямой MP имеет вид

x/2 = 0, y/4 = z/6, или x = 0, y = 1.5z.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку P и параллельной прямой MP имеет вид

2(y-1.5z) = 6, или y = 1.5z + 3.

Это плоскость, проходящая через точки A(8,0,0), B(0,8,0) и C(0,0,8). Пересечение этой плоскости с прямой MR даст точку X1.

Точка X1 имеет координаты (0, 5, 1.5).

б) Построим точку X2. Аналогично, уравнение плоскости, проходящей через точку K и параллельной прямой KР имеет вид

2y - 1.5z = 12, или 2y = 1.5z + 12, или y = 0.75z + 6.

Это плоскость, проходящая через точки A(8,0,0), B(0,8,0) и C(0,0,8). Пересечение этой плоскости с прямой KR даст точку X2.

Точка X2 имеет координаты (0, 9, 6).

в) Построим точку пересечения прямой MP и плоскости AKC. Уравнение плоскости АКС имеет вид

x/4 + y/8 + z/8 = 1, или x = 4 - y/2 - z/2.

Подставляем координаты точки M (0, 4, 0) и уравнение прямой MP получаем y = 2.6667, z = 0.6667.

2)
а) Найдем длину X1X2. X1(0, 5, 1.5), X2(0, 9, 6). Длина X1X2 равна sqrt((9-5)^2 + (6-1.5)^2) = sqrt(16 + 20.25) = sqrt(36.25) = 6.02.

б) Плоскость MX1X2 делит отрезок DB в отношении 3:1 (считая от B).