Один из углов треугольника равен 60. Найдите расстояние между проекциями середины противоположной стороны треугольника на две другие его стороны, если высоты треугольника, опущенные на эти стороны равны 2 и 4.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть $AB = c$ будет противоположный от угла 60 градусов угол. Тогда $AM = \frac{c}{2}$ и $AN = 4$ (где $M$ и $N$ - середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно).

Из прямоугольного треугольника $AMN$ можем найти длину $MN$:
$$MN^2 = AM^2 - AN^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 - 4^2 = \frac{c^2}{4} - 16$$
С другой стороны, из прямоугольного треугольника $AMC$ можем найти длину $MC$:
$$MC = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{c^2 - \frac{c^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}c}{2}$$
Из прямоугольного треугольника $ANC$:
$$NC = \sqrt{AC^2 - AN^2} = \sqrt{c^2 - 16}$$

Теперь можем найти проекции середины стороны $BC$ на стороны $AC$ и $AB$:
$$BC' = MC \sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}c}{4}$$
$$BC'' = NC \sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{c^2-16}}{2}$$

И, наконец, расстояние между этими проекциями:
$$d = BC'' - BC' = \frac{\sqrt{3}\sqrt{c^2-16}}{2} - \frac{\sqrt{3}c}{4} = \frac{\sqrt{3}(2\sqrt{c^2-16}-c)}{4}$$

Теперь осталось выразить длину $MN$ через $c$:
$$MN^2 = \frac{c^2}{4} - 16 = c^2 - 64 \div 4$$
Сравнивая это с предыдущим выражением для $MN^2$ видим равенство, значит, можем написать:
$$MN = \sqrt{c^2-64}$$

Таким образом, расстояние между проекциями середины противоположной стороны треугольника на две другие его стороны равно
$$d = \frac{\sqrt{3}(2MN-c)}{4}$$