Сформулируйте определение касательной к окружности. Докажите теорему о касательной к окружности

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Касательной к окружности называется прямая, которая касается окружности в одной единственной точке.

Теорема: Если касательная к окружности проведена из точки, лежащей за её пределами, то угол между касательной и радиусом окружности, проведённым к точке касания, равен прямому углу.

Доказательство: Пусть дана окружность с центром в точке O. Пусть P – точка касания касательной к окружности. Проведем радиус окружности до точки касания P.

Пусть A – начало радиуса окружности, а B – точка касания. Рассмотрим треугольник OAB. Так как радиус окружности всегда перпендикулярен касательной в точке касания, то угол OAB прямой.

Теперь рассмотрим треугольник PAB. Так как угол B равен прямому, а угол OAB также прямой, то треугольники OAB и PAB подобны (по стороне и общему углу). Из подобия следует, что угол POA также является прямым.

Таким образом, угол между касательной и радиусом окружности, проведенным к точке касания, равен прямому углу. Доказано.