Дан треугольник АВС, в котором АВ=12 см, АС=15 см. На стороне АВ взята точка М так, что АМ:МВ=2:1. Через точку М проведена плоскость, которая параллельна стороне АС и пересекает сторону ВС в точке К. Найдите площадь треугольника МВК.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длины отрезков AM и MV. Так как отношение AM:MV = 2:1, то AM = 2x, MV = x, где x - некоторая величина.

Так как AM + MV = AV, то 2x + x = 12, откуда x = 4 см. Тогда AM = 8 см, MV = 4 см.

Так как плоскость, проходящая через точку М, параллельна стороне АС, то по теореме Фалеса отношение длин отрезков AK:KV равно отношению длин AM:MV, то есть 2:1.

Так как AK + KV = AC, то 2a + a = 15, откуда a = 5 см. Значит, AK = 10 см, KV = 5 см.

Теперь можем найти площадь треугольника MVK. Так как треугольник MVK - подобен треугольнику АКС, то отношение площадей треугольников равно квадрату отношения сторон (так как стороны - они же высоты треугольников), то есть S(MVK) : S(ACK) = (MV/AC)^2 = (2/3)^2 = 4/9.

Так как S(ACK) = S(ABC) - S(MVС), то S(MVK) = S(ACK)(4/9) = S(ABC)(4/9) - S(MVС)(4/9).

Площадь треугольника АВС равна S(ABC) = 1/2 AV BC = 1/2 12 15 = 90 см^2.

Теперь найдем S(MVС) = 1/2 MV VC = 1/2 4 5 = 10 см^2.

Итак, S(MVK) = 90 (4/9) - 10 (4/9) = 40 см^2.

Ответ: площадь треугольника МВК равна 40 см^2.