На двух смежных сторонах AB и BC параллелограмма ABCD вне его построены равносторонние треугольники ABE, BCF. Найдите площадь треугольника DEF, если AB=1 см, BC=корень из 2 см, угол ABC=105°.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку E' как точку пересечения прямых AE и BC.

Так как треугольник ABE равносторонний, то AE = BE = AB = 1 см и угол EAB = угол AEB = 60°. Также угол ABC = 105°, угол BAC = 180° - угол EAB - угол ABC = 15°.

Треугольник ABC - прямоугольный, так как угол ABC = 90°. Из этого следует, что угол BAC = 180° - 90° - угол ABC = 15°.

Теперь можем найти BE' и E'C. Так как треугольник BAE' и BCF равнобедренные, то треугольник BAE' - равносторонний и BC = BC = корень из 2 см = BE'.

Поскольку треугольник BEE' равнобедренный, то угол BEC = (180° - угол EBC)/2, таким образом, угол BEC = 180° - 105° = 75°. Также угол BCE = 180° - 60° - 75° = 45°, что означает, что треугольник BCE прямоугольный.

Площадь треугольника DEF равна площади треугольника DFE по принципу симметрии. Таким образом, площадь треугольника DEF равна (1/2) BC BE' sin(DEC), при этом sin(DEC) = sin(105°) = sin(180° - 75°) = sin(75°). Таким образом, площадь равна 0.5 sqrt(2) sqrt(2) sin(75°) = sin(75°).

Поскольку sin(75°) = cos(15°), то площадь треугольника DEF равна cos(15°).