Дано: прямоугольный треугольник MNK, в котором NK - гипотенуза, есть биссектриса KD. DE - перпендикуляр к гипотенузе. Доказать, что если MN=3MD, то NE=EK.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия MN=3MD следует, что MD = MN/3.
Так как KD - биссектриса треугольника MNK, то мы можем записать:
NK/NE = MK/ME
NK/(NK + MD) = MK/(MN - MD)
NK/(NK + MN/3) = (NK + MN)/2

Умножаем обе части на 2(NK + MN):
2NK = (NK + MN)(2NK + 2MN)/3
6NK = (NK + MN)(2NK + 2MN)
6NK = 2KN^2 + 2KNMN + 2MN^2 + 2MNKN
6NK = 2KN^2 + 4KNMN + 2MN^2
6NK = 2KN(MN + KN) + 2MN^2
6NK = 2KN(NK + MD) + 2MN^2
6NK = 2KNNE + 2MN^2
3NK = KNNE + MN^2
3NK = EKNE + MN^2

Так как KN = NK, то:
3NK = EK*NE + MN^2

Так как MN = 3MD, то MN^2 = 9MD^2 = 9(NE^2 + DE^2).
Таким образом:
3NK = EKNE + 9(NE^2 + DE^2)
3NK = EKNE + 9NE^2 + 9DE^2
3NK = 9NE^2 + EKNE + 9DE^2
3NK = 9NE^2 + 9DE^2 + EKNE
3NK = 9(NE^2 + DE^2) + EK*NE

Так как NE^2 + DE^2 = EK^2, получаем:
3NK = 9EK^2 + EKNE
3NK = EK(9EK + NE)
3NK = EKNE

Таким образом, EK*NE = 3NK, что и требовалось доказать.