Внешний угол прямоугольного треугольника равен 120 градусов. Докажите, что катет , прилежащий к этому углу, равен среднему арифметическому отрезков, на которые высота треугольника делит гипотенузу.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катет, прилежащий к внешнему углу, обозначается как a, а отрезки, на которые высота треугольника делит гипотенузу, обозначаются как x и y (x < y).

Так как внешний угол прямоугольного треугольника равен 120 градусов, то внутренний угол при вершине, противоположный этому углу, равен 180° - 120° = 60°.

Так как сумма углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, то прямой угол равен 90°, а оставшийся угол (угол при основании, противоположный прямому углу) равен 180° - 90° - 60° = 30°.

Теперь рассмотрим подобные треугольники. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC, так как оба они имеют прямые углы (угол при вершине) и углы CHA и ACB равны друг другу.

Из подобия треугольников мы можем записать соотношение сторон:

AH/AB = CH/AC

Так как AH = x, AB = y (гипотенуза), CH = a и AC = y-x, то получаем:

x/y = a/(y-x)

Решим эту пропорцию относительно а:

x/y = a/(y-x)

a = x(y-x)/y

a = xy/y - x²/y

a = x - x²/y

Теперь найдем среднее арифметическое двух отрезков, на которые делится гипотенуза высотой треугольника:

(x + y)/2

Так как y = x + a (сумма двух отрезков), подставим это значение в выражение для среднего арифметического:

(x + (x + a))/2

(2x + a)/2

x + a/2

Теперь заменим a на полученное значение выражения x - x²/y:

x + (x - x²/y)/2

2x + 2(x - x²/y)/2

2x + x - x²/y

3x - x²/y

Теперь сравним это значение с выражением для катета a:

x - x²/y

Таким образом, катет, прилежащий к внешнему углу, равен среднему арифметическому отрезков, на которые высота треугольника делит гипотенузу.