Найдите углы вписанного в окружность четырёхугольника, если противоположные углы относятся как 2:3 и 4:5.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть углы вписанного в окружность четырёхугольника обозначены как ( \alpha, \beta, \gamma, \delta ).

Так как противоположные углы относятся как 2:3, то мы можем записать следующее
[\frac{\alpha}{\gamma} = 2:3
[\frac{\beta}{\delta} = 2:3]

Также, так как противоположные углы относятся как 4:5, то мы можем записать следующее
[\frac{\alpha}{\beta} = 4:5
[\frac{\gamma}{\delta} = 4:5]

Перепишем эти отношения в виде уравнений
[\alpha = \frac{2}{3}\gamma
[\beta = \frac{4}{5}\delta
[\alpha = \frac{4}{5}\beta
[\gamma = \frac{2}{3}\delta]

Кроме того, из суммы углов в четырёхугольнике, вписанном в окружность, мы знаем, что (\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°).

Теперь подставляем уравнения в сумму углов
[\frac{2}{3}\gamma + \frac{4}{5}\delta + \gamma + \delta = 360°
[\frac{10}{15}\gamma + \frac{12}{15}\delta + \frac{15}{15}\gamma + \frac{15}{15}\delta = 360°
[\frac{25}{15}\gamma + \frac{27}{15}\delta = 360°
[\frac{5}{3}\gamma + \frac{9}{5}\delta = 360°]

Таким образом, углы вписанного в окружность четырёхугольника будут
[\alpha = 120°, \beta = 96°, \gamma = 90°, \delta = 154°]