Боковые стороны трапеции ABCD пересекаются в точке К. AB-основание трапеции. треугольник ABK - равносторонний. Докажите, что разность оснований трапеции равна её боковому ребру

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины сторон треугольника ABK через а, а длины сторон трапеции ABCD через a, b, c, d (AB||CD, AD и BC - диагонали).

Так как треугольник ABK - равносторонний, то a = b = c.

Из равенства диагоналей в трапеции ABCD AD = BC и того, что KA - биссектриса угла BKD (по условию), получаем:

AB / AD = KB / KD (по теореме синусов для треугольника ABK)

AB / BC = KB / KD (по условию)

Отсюда: AB = (KB/ KD) * BC = AK = BK.

Из теоремы Пифагора для треугольника AKB получаем:

b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2

Так же из теоремы Пифагора для трапеции ABCD:

d^2 = (a + c)^2 - c^2 = a^2 + 2ac + c^2 - c^2 = a^2 + 2ac

Таким образом, из равенств b^2 = 2a^2 и d^2 = a^2 + 2ac получаем:

d^2 - b^2 = a^2 + 2ac - 2a^2 = a^2 + 2ac - 2a^2 = a^2

Таким образом, разность оснований трапеции (d - b) равна её боковому ребру a.