В треугольнике ABC вписана окружность, которая касается сторон AB и BC в точках E и F соответственно. Касательная MK к этой окружности пересекает стороны AB и BC соответственно в точках M и K. Найдите периметр треугольника BMK, если BE = 6см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку окружность касается сторон AB и BC треугольника ABC, то точки E и F являются точками касания. Также известно, что касательная к окружности и радиус перпендикулярны в точке касания, поэтому треугольник AFE является прямоугольным.
Так как BE = 6 см, то AE = AF = 6 см. Также так как AE и AF являются радиусами окружности, то AF = FM и AE = EM.
Таким образом, MF = 6 см. Также из прямоугольного треугольника AMK можно найти длину MK. Из треугольника AMK по теореме Пифагора получаем, что MK = sqrt(AM^2 + MA^2)
Так как AM = BM - BE и MA = BM + ME, то AM = BM - BE = BM - 6 см и MA = BM + ME = BM + 6 см.
Подставляя значения AM и MA в формулу для MK, получаем MK = sqrt((BM - 6)^2 + (BM + 6)^2) = sqrt(2BM^2 + 72)
Теперь можем найти периметр треугольника BMK:
BMK = BM + MK + MK
BMK = BM + sqrt(2BM^2 + 72) + sqrt(2BM^2 + 72)
BMK = BM + 2sqrt(2BM^2 + 72)
Таким образом, периметр треугольника BMK равен BM + 2sqrt(2BM^2 + 72) + BM + 2sqrt(2BM^2 + 72) = 2BM + 4sqrt(2BM^2 + 72).
Теперь осталось найти значение BM. Из прямоугольного треугольника AFE имеем AF = sqrt(2) AE. Подставляя значения AE = AF = 6, получаем BM = 6sqrt(2).
Теперь зная BM, можем найти периметр треугольника BMK:
BMK = 2 6sqrt(2) + 4sqrt(2 (6sqrt(2))^2 + 72) = 12sqrt(2) + 4sqrt(144 + 72) = 12sqrt(2) + 4 12 = 12(sqrt(2) + 1) + 48 = 12sqrt(2) + 12 + 48 = 12sqrt(2) + 60
Ответ: периметр треугольника BMK равен 12sqrt(2) + 60.