Докажите, что биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы противоположных углов пар-грамма паралельны или лежат на 1 прямой

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть дан параллелограмм ABCD. Проведем биссектрисы углов A и C, пересекающиеся в точке O. Обозначим точки пересечения биссектрис углов A и B, B и C, C и D, D и A со сторонами параллелограмма как M, N, P, Q соответственно.

Так как углы параллелограмма смежные, то они равны между собой. То есть ∠AOM = ∠MON, ∠BON = ∠NOC, ∠COD = ∠POD, ∠DOA = ∠QOA.

Также из построения биссектрисы углов A и C следует, что углы ∠AOM и ∠COM, ∠CON и ∠DON равны между собой.

Из этого следует, что треугольники AOM и COM, BON и NOC, COD и POD, DOA и QOA равны между собой по двум сторонам и углу, следовательно, у них равны и третьи стороны.

Таким образом, получаем, что AM = CM, BN = CN, CP = DP, DQ = AQ.

Отсюда следует, что AB = CD и BC = AD, то есть противоположные стороны параллелограмма равны между собой, что означает, что биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой.

Теперь докажем, что биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны. Рассмотрим треугольник AOB. Углы AOB и BON смежные и равны, также у них общая сторона OB. Из этого следует, что треугольник AOB равнобедренный, значит, биссектриса угла BOA (проходящая через точку O) является высотой этого треугольника. То же самое можно сказать про треугольник BOC.

Таким образом, получаем, что биссектрисы углов A и C параллелограмма перпендикулярны.

Таким образом, доказано, что биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой.