В прямоугольнике ABCD на стороне AB как на диаметре построена окружность. O — центр этой окружности. Отрезок OD пересекает окружность в точке K. Известно, что DK/AB = √(10) - 1 / 2 а) Докажите, что стороны прямоугольника относятся как 3:2 б) Найдите КС, если известно, что AK = √(2 - 2/√(10))

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Пусть стороны прямоугольника AB и AD равны a и b соответственно. Так как OD - диаметр окружности, то угол AOB прямой. Из подобия прямоугольных треугольников AOD и OBC следует, что AD/OB = a/b и DB/OC = b/a. Так как DK перпендикулярен OB и OC, то треугольники OKD и OBC подобны, откуда DK/BC = OB/OC = a/b и DK/BC = √(10) - 1 / 2. Теперь из этих равенств можно найти, что AB/BC = 3/2.

б) Так как DK/AB = √(10) - 1 / 2, то DK = (3 - √(10))/2. Теперь применяя теорему Пифагора к треугольнику ADK, получим AK = √(AD^2 - DK^2). Подставляя значения, найдем AK = √(2 - 2/√(10)). Теперь, так как треугольники KCD и KAB подобны, то KC/AD = AB/AK, откуда KC = AD^2/AB AK = b^2/a √(2 - 2/√(10)). Подставляя в это выражение известные значения, получаем KC = (3 - √(10))^2 / 6√(10).