В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали 𝐵𝐷 и 𝐴𝐶 равны 10 и 12√3 соответственно, ∠𝐴𝑂𝐵 = 30°, 𝑂 – точка пересечения диагоналей. Найдите периметр параллелограмма. При выполнении задания необходимо сделать рисунок.
Для начала обозначим точку пересечения диагоналей 𝑂 и проведем высоту из точки 𝑂 на сторону 𝐵𝐷, обозначим образовавшийся треугольник как △𝐵𝑂𝐴 Так как угол ∠𝐴𝑂𝐵 = 30°, то угол ∠𝐵𝑂𝐴 = 60° (так как треугольник равносторонний) Тогда в △𝐵𝑂𝐴 sin 60° = 𝐵𝑂 / 𝐴𝑂 = 𝐴𝐵 / 𝐵𝑂 √3 / 2 = 𝐵𝑂 / 10 𝐵𝑂 = 5√3.
Теперь рассмотрим прилегающий к △𝐵𝑂𝐴, треугольник △𝐶𝐴𝑂 Так как △𝐴𝑂𝐵 и △𝐶𝐴𝑂 подобны, то 𝐶𝐴 / 𝐴𝑂 = 𝐵𝐶 / 𝐵𝑂 12√3 / 10 = 𝐵𝐶 / 5√3 𝐵𝐶 = 6.
Отсюда получаем сторону 𝐴𝐵 равную 12 и сторону 𝐶𝐷 равную 12.
Теперь находим периметр параллелограмма 2*(12 + 12) = 48.
Для начала обозначим точку пересечения диагоналей 𝑂 и проведем высоту из точки 𝑂 на сторону 𝐵𝐷, обозначим образовавшийся треугольник как △𝐵𝑂𝐴
Так как угол ∠𝐴𝑂𝐵 = 30°, то угол ∠𝐵𝑂𝐴 = 60° (так как треугольник равносторонний)
Тогда в △𝐵𝑂𝐴
sin 60° = 𝐵𝑂 / 𝐴𝑂 = 𝐴𝐵 / 𝐵𝑂
√3 / 2 = 𝐵𝑂 / 10
𝐵𝑂 = 5√3.
Теперь рассмотрим прилегающий к △𝐵𝑂𝐴, треугольник △𝐶𝐴𝑂
Так как △𝐴𝑂𝐵 и △𝐶𝐴𝑂 подобны, то
𝐶𝐴 / 𝐴𝑂 = 𝐵𝐶 / 𝐵𝑂
12√3 / 10 = 𝐵𝐶 / 5√3
𝐵𝐶 = 6.
Отсюда получаем сторону 𝐴𝐵 равную 12 и сторону 𝐶𝐷 равную 12.
Теперь находим периметр параллелограмма
2*(12 + 12) = 48.
Ответ: периметр параллелограмма равен 48.