В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали 𝐵𝐷 и 𝐴𝐶 равны 10 и 12√3 соответственно, ∠𝐴𝑂𝐵 = 30°, 𝑂 – точка пересечения диагоналей. Найдите периметр параллелограмма. При выполнении задания необходимо сделать рисунок.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим точку пересечения диагоналей 𝑂 и проведем высоту из точки 𝑂 на сторону 𝐵𝐷, обозначим образовавшийся треугольник как △𝐵𝑂𝐴.
Так как угол ∠𝐴𝑂𝐵 = 30°, то угол ∠𝐵𝑂𝐴 = 60° (так как треугольник равносторонний).
Тогда в △𝐵𝑂𝐴:
sin 60° = 𝐵𝑂 / 𝐴𝑂 = 𝐴𝐵 / 𝐵𝑂,
√3 / 2 = 𝐵𝑂 / 10,
𝐵𝑂 = 5√3.

Теперь рассмотрим прилегающий к △𝐵𝑂𝐴, треугольник △𝐶𝐴𝑂:
Так как △𝐴𝑂𝐵 и △𝐶𝐴𝑂 подобны, то:
𝐶𝐴 / 𝐴𝑂 = 𝐵𝐶 / 𝐵𝑂,
12√3 / 10 = 𝐵𝐶 / 5√3,
𝐵𝐶 = 6.

Отсюда получаем сторону 𝐴𝐵 равную 12 и сторону 𝐶𝐷 равную 12.

Теперь находим периметр параллелограмма:
2*(12 + 12) = 48.

Ответ: периметр параллелограмма равен 48.