В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB,BC и AC соответственно в точках N, K и M. Найдите длину отрезка NK, если AM=2, AC=7 и

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

BC=8.

Пусть радиус вписанной окружности равен r, а длины отрезков NK, KM и MN обозначим как x, y и z соответственно.

Так как AM = AN = z + r = 2, то z = 2 - r.
Аналогично, AC = AK = x + r = 7, то x = 7 - r.

Так как треугольник ABC является прямоугольным, он удовлетворяет теореме Пифагора:
AB² = AC² + BC²
(7 + r)² = x² + y²
(7 + r)² = (7 - r)² + y²
49 + 14r + r² = 49 - 14r + r² + y²
14r = -14r + y²
y² = 28r
y = √(28r)

Теперь рассмотрим равенство площадей треугольников ABC и ANB:
S_ABC = S_ANB
(1/2) AC BC = (1/2) AN BN
(1/2) 7 8 = (1/2) (2r + z) (2r + y)
28 = (r + 2 - r) (r + 2 + √(28r))
28 = (2 + √(28r)) (r + 2)
28 = 2r + 4 + 2√(28r) + √(28r)²
28 = 2r + 4 + √(28r)(2 + √(28r))
24 = 2r + √(28r)(2 + √(28r))

Далее мы можем заметить, что r=y, так как NK и KM - отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Тогда, выразив r через y в предпоследнем уравнении, получим:
24 = y + 4 + 2y
20 = 3y
y = 20 / 3 = 6.67.

Таким образом, длина отрезка NK равна 6.67.