В треугольник вписана окружность с радиусом равным единице. Длины высот этого треугольника выражаются натуральными числами. Найдите его стороны.

21 Мая 2019 в 19:44
150 +1
0
Ответы
1

Пусть стороны треугольника равны a, b и c, а h1, h2 и h3 - высоты, опущенные на эти стороны.

Так как вписанная окружность имеет радиус 1, то расстояния от центра окружности до сторон треугольника равны радиусу окружности. То есть:

S = p*r,

где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника (a+b+c)/2, r - радиус вписанной окружности (в данном случае равен 1).

Площадь треугольника можно выразить через его стороны и высоты:

S = (ah1)/2 = (bh2)/2 = (c*h3)/2.

Из этого следует, что:

p = 2S/(a+b+c),

где S = (a*h1)/2.

Далее, подставляем полученные выражения в формулу для площади треугольника через радиус вписанной окружности:

(a+h1+c)h1/2 = (a+b+c)1/2,

ah1 + h1^2 + ch1 = a + b + c.

Подставляем выражение для S:

ah1 + h1^2 + ch1 = (ah1 + bh1 + ch1)2/(a+b+c).

Домножаем обе части уравнения на a+b+c, а затем раскрываем скобки:

a^2 + ah1 + ab + bh1 + ca + ch1 = 2ah1 + 2bh1 + 2c*h1.

Далее, приведя подобные, получим:

a^2 + ab + ca = bh1 + c*h1,

a^2 + bc = h1(b+c),

a = sqrt(h1*(b+c)).

Аналогично найдем b и c:

b = sqrt(h2(a+c)),
c = sqrt(h3(a+b)).

Таким образом, стороны треугольника равны sqrt(h1(b+c)), sqrt(h2(a+c)) и sqrt(h3*(a+b)).

28 Мая 2024 в 16:11
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 96 091 автору
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир