Площадь боковой поверхности правильной четырёх- угольной призмы равна 48 м², а площадь полной по- верхности 57 м². Найдите диагональ боковой грани призмы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим сторону основания призмы через (a), а высоту призмы через (h).

Так как у нас правильная четырёхугольная призма, то боковая поверхность состоит из четырех равных равносторонних треугольников. Площадь одного равностороннего треугольника равна (\frac{a\cdot h}{2}).

По условию задачи известно, что площадь боковой поверхности равна 48 м², поэтому имеем уравнение:

[ 4\cdot \frac{a\cdot h}{2} = 48 ]
[ 2\cdot a\cdot h = 48 ]
[ a\cdot h = 24 ]

Также известно, что площадь полной поверхности призмы равна 57 м², поэтому имеем уравнение:

[ a^2 + 4\cdot \frac{a\cdot l}{2} = 57 ]
[ a^2 + 2\cdot a\cdot l = 57 ]

Теперь найдем диагональ (l). Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника, образованного диагональю и стороной основания призмы, так как этот треугольник является прямоугольным.

По теореме Пифагора получаем:

[ l^2 = a^2 + h^2 ]

Теперь можем подставить (a \cdot h = 24), (a^2 + 2\cdot a\cdot l = 57) и (l^2 = a^2 + h^2) в уравнение и решить систему уравнений.

После расчетов, получим ответ: (l = 3\sqrt{13} \approx 11.4) м.