1. В треугольнике АВС, ВМ – медиана, А(-2; 4; 4), В(4; -4; -12), М(2; 2; -2). Найти: а) координаты точки С; б) длину стороны ВС. 2. Вычислить угол между прямыми ВА и ВС, если А(-1; 4; 1), В (3; 4;-2), С(5; 2; -1). 3. Составьте уравнение окружности с центром в точке (5; -7) и проходящей через точку (2; -3). 4. Составьте уравнение гиперболы, если её вершины находятся в точках (-3; 0) и (3; 0), а фокусы – в точках (-5; 0) и (5; 0). 5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 2; -2) и параллельной плоскости x +2y -3z = 0.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для нахождения координат точки C воспользуемся свойством медианы в треугольнике: координаты точки C будут равны среднему арифметическому координат точек A и B.
С(х; у; z) = ((-2+4)/2; (4-4)/2; (4-12)/2) = (1; 0; -4)

б) Длина стороны ВС равна расстоянию между точками B и C:
BC = √((4-1)^2 + (-4-0)^2 + (-12+4)^2) = √(9 + 16 + 64) = √89

Угол между прямыми можно вычислить по формуле:
cos(α) = (ВА ВС) / (|ВА| |ВС|)
где ВА и ВС - вектора, направленные по прямым ВА и ВС соответственно.
|ВА| = √((3+1)^2 + (4-4)^2 + (-2-1)^2) = √(16 + 1 + 9) = √26
|ВС| = √((5-3)^2 + (2-4)^2 + (-1+2)^2) = √(4 + 4 + 1) = √9
cos(α) = ((3+1)(5-3) + (4-4)(2-4) + (-2+1)(-1+2)) / (√26 * √9) = (8 + 0 + 1) / (√234) = 9 / √234
α = arccos(9/√234)

Уравнение окружности с центром (5; -7) и проходящей через точку (2; -3) имеет вид:
(x-5)^2 + (y+7)^2 = ((2-5)^2 + (-3+7)^2)
(x-5)^2 + (y+7)^2 = 13

Уравнение гиперболы с вершинами в точках (-3; 0) и (3; 0), а фокусами в точках (-5; 0) и (5; 0) имеет вид:
(x+3)^2 / a^2 - (y-0)^2 / b^2 = 1, где a - расстояние от центра до вершины, b - фокуса.
Из условий задачи: a = 3, c = 5, так как c = 2a, значит b = √(c^2-a^2) = √(5^2-3^2) = √16 = 4
(x+3)^2 / 9 - y^2 / 16 = 1

Уравнение плоскости, проходящей через точку M(2; 2; -2) и параллельной плоскости x + 2y - 3z = 0, имеет вид:
x + 2y - 3z = k, где k - неизвестный коэффициент, который можно найти, подставив координаты точки М:
2 + 22 - 3(-2) = k
2 + 4 + 6 = k
k = 12
Таким образом, уравнение искомой плоскости будет:
x + 2y - 3z = 12