В задачах 1-20 даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение медианы AЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М. расположенной симметрично точке А относительно пря- мой CD. А (4;1) Б (16;-8) С (14;6)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Длина стороны АВ:
AB = √((16-4)^2 + (-8-1)^2) = √(144 + 81) = √225 = 15

2) Уравнение стороны АВ:
Уравнение прямой проходящей через точки А(4,1) и В(16,-8) имеет вид:
y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) (x - x1),
где x1 = 4, y1 = 1, x2 = 16, y2 = -8.
Подставляем значения и получаем уравнение стороны АВ:
y - 1 = (-8 - 1)/(16 - 4) (x - 4),
y - 1 = -9/12 * (x - 4),
y - 1 = -3/4x + 3,
4y - 4 = -3x + 12,
3x + 4y - 16 = 0.

Угловой коэффициент стороны АВ:
kAB = (-8 - 1)/(16 - 4) = -9/12 = -3/4.

Уравнение стороны ВС:
Уравнение прямой проходящей через точки В(16,-8) и С(14,6) имеет вид:
y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) * (x - x1),
где x1 = 16, y1 = -8, x2 = 14, y2 = 6.
Подставляем значения и получаем уравнение стороны ВС:
y + 8 = (6 + 8)/(14 - 16)(x - 16),
y + 8 = 7(-2)(x - 16),
y + 8 = -14(x - 16),
y + 8 = -14x + 224,
14x + 224 + y + 8 = 0,
14x + y + 232.

Угловой коэффициент стороны ВС:
kBC = (6 - (-8))/(14 - 16) = 14/-2 = -7.

3) Угол В в радианах:
Угол В можно найти используя косинус теорему:
cos(В) = (AB^2 + BC^2 - AC^2)/(2 AB BC),
где AB = 15, BC = √((16-14)^2 + (-8-6)^2) = √(4^2 + (-14)^2) = √(16 + 196) = √212, AC = √((14-4)^2 + (6-1)^2) = √(10^2 + 5^2) = √(100 + 25) = √125.
Подставляем значения и получаем угол В:
cos(В) = (15^2 + √212^2 - √125^2)/(2 15 √212),
cos(В) = (225 + 212 - 125)/(30√212) = 312/30√212 ≈ 0.5365,
∠B = arccos(0.5365) ≈ 0.973 radians.

4) Уравнение высоты CD и ее длина:
Уравнение высоты CD проходит через точку С(14,6) и перпендикулярно стороне AB.
Угловой коэффициент высоты CD равен обратному инверсному угловому коэффициенту стороны AB: kCD = -1/-3/4 = 4/3.
Уравнение высоты CD имеет вид:
y - y1 = kCD(x - x1),
y - 6 = 4/3(x - 14),
3y - 18 = 4x - 56,
4x - 3y + 38 = 0.

Длина высоты CD:
Длина CD равна расстоянию от точки С до прямой AB. Для этого можно найти площадь треугольника ABC, а затем использовать формулу площади треугольника через высоту:
S = (1/2) AB CD,
CD = 2S/AB,
S = (1/2) |(4(6) + 16(-1) + 14(-8) - 14(6) - 16(6) - 4(-8))| = 58,
CD = 2 58/15 = 116/15.

5) Уравнение медианы AE и координаты точки К:
Медиана AE делит сторону BC и проходит через вершину A. Точка Е это середина стороны BC.
Координаты точки Е: ((16+14)/2, (-8+6)/2) = (15, -1).
Уравнение медианы АЕ проходящей через точку A(4,1) и E(15,-1):
y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) (x - x1),
где x1 = 4, y1 = 1, x2 = 15, y2 = -1.
Подставляем значения и получаем уравнение медианы АЕ:
y - 1 = (-1 - 1)/(15 - 4) (x - 4),
y - 1 = -2/11 * (x - 4),
y - 1 = -2/11x + 8/11,
11y - 11 = -2x + 8,
2x + 11y - 19 = 0.

Точка пересечения медианы АЕ с высотой CD это точка К.
Решим систему уравнений 4x - 3y + 38 = 0 и 2x + 11y - 19 = 0:
4x - 3(2x + 11y - 19) + 38 = 0,
4x - 6x - 33y + 57 + 38 = 0,
-2x - 33y + 95 = 0,
2x + 11y - 19 = 0,
Найдем координаты точки K(23/3, 1/3).

6) Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне АВ:
Прямая, параллельная стороне AB, проходит через точку М(4,1).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом -3/4 и проходящей через точку М:
y - 1 = (-3/4)(x - 4),
y - 1 = -3/4x + 3,
3y - 3 = -4x + 12,
4x + 3y - 15 = 0.

7) Координаты точки M, симметрично точке A относительно прямой CD:
Найдем уравнение прямой, содержащей точку А и перпендикулярной CD:
y - 1 = 3/4(x - 4),
y - 1 = 3/4x - 3,
-3/4x + y - 4 = 0.
Точка пересечения прямой CD и прямой перпендикулярной CD это точка M.
Найдем координаты точки М, подставив уравнения прямых в систему:
4x - 3y + 38 = 0,
-3/4x + y - 4 = 0.
Решая систему уравнений, получаем координаты точки M(226/25, 86/25).