Дана трапеция MNKL . Средняя линия ST делит площадь данной трапеции в отношении 7:9 . Чему равны длины оснований данной трапеции, если ST=20 ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длины оснований трапеции MNKL равны а и b, а высота трапеции равна h.
Тогда площадь трапеции равна: S = (a + b)h / 2
Также, средняя линия ST делит площадь трапеции на две равные части, то есть S1 = S2 = S / 2, где S1 и S2 - площади трапеций MSTT и NSLK.
По условию, S1 / S2 = 7 / 9, значит (a + 20)h / 2 / (b + 20)h / 2 = 7 / 9,
что приводится к уравнению: 9(a + 20) = 7(b + 20).
Раскрываем скобки: 9a + 180 = 7b + 140,
или: 9a - 7b = -40 ------ (1).
Также, используя формулу для площади трапеции, можем записать:
a + b = 40h / 20 = 2h ------ (2).
Из уравнений (1) и (2) можем выразить h через a и b:
a = h(2 - b) и b = 2h - a.
Подставляем это в уравнение (1):
9(h(2 - b)) - 7(2h - a) = -40,
18h - 9hb - 14h + 7a = -40,
4h - 9hb - 7a = -40.
Теперь можем выразить b через a:
b = (4h + 7a + 40) / (9h).
Также из уравнения (2) можем выразить a:
a = 2h - b = 2h - (4h + 7a + 40) / (9h).
Подставляем a в уравнение (1) и находим:
a = 360 / 47, b = 400 / 47.
Таким образом, длины оснований трапеции MNKL равны a = 360 / 47 и b = 400 / 47.