На сторе CD квадрата ABCD лежит точка K так, что CK=KD, точка пересечения диагоналей. Выразите векторы BO, BK,KA через векторы a=AB,b = AD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим векторы от начальной точки A: $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{b}$.

Так как точки К и Д симметричны относительно точки С, то [\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{OD}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}))=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})-\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}]

Так как $\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{OA}$, то $\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\ overrightarrow{2a}$.

Так как $\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{KB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, то $\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{OK}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{b}{2}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{a}-\frac{1}{2} \overrightarrow{b}$.

Итак, мы выразили векторы $\overrightarrow{KA}$ и $\overrightarrow{KB}$ через данные векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

$\overrightarrow{KA}=2\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{KB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$.