Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Серединный перпендикуляр отрезка AK пересекает сторону AD в точке P. Найдите сторону AB, если периметр четырёхугольника ABKP равен 36 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны параллелограмма как a и b.

Так как биссектриса угла A делит сторону BC пополам, то BK = KC = b/2.
Также, так как AK является биссектрисой угла A, то BD = DC = a.

Пусть точка M - середина отрезка AK, а точка N - середина отрезка BP.

Тогда AM = MK = AK/2, MP = PN = BP/2.

Из подобия треугольников AMK и ANP получаем, что AM/AN = MK/PN = AK/BP.
Следовательно, AM/BP = AK/AN.
Из чего следует, что 2AM = AK и 2BP = AN.

Теперь составим уравнение на периметр четырёхугольника ABKP:
AK + BP + AB + KP = 36
2AM + 2BP + AB + 2KM = 36
2(AK + BP) + AB + 2KM = 36
2(AN + MK) + AB + 2KM = 36
2(AN + MK) + AB + 2(MK + KN) = 36
2AN + 2MK + AB + 2MK = 36
AN + 3MK + AB = 36

Но AN = PB и MK = KP, поэтому получаем:
PB + 3KP + AB = 36
BP + 3KP + AB = 36
3KP + BP = 36

Так как AB = a, то BP = a/2.
Подставляем это в уравнение:
3KP + a/2 = 36
KP = 36 - a/2

Также из подобия треугольников KMP и KDP получаем, что KP/BD = MP/KD.
Следовательно, KP/a = MP/b
KP = a MP/b

Подставляем KP из двух уравнений и находим a:
a MP/b = 36 - a/2
2a MP = 72b - ab
2AK/2 = 72 - a^2
a^2 + 2a - 72 = 0
(a + 9)(a - 8) = 0

Отсюда получаем, что a = 8 см. Следовательно, сторона AB равна 8 см.